حمى كرة السلة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).يتمتمثيلالعددالمركبعادةًبالصيغةالتالية:الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل

[z=a+bi]

حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقي.
-(b)هوالجزءالتخيلي.
-(i)هوالوحدةالتخيلية،والتيتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:

[i=\sqrt{ -1}]

لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟

فيالرياضيات،واجهالعلماءمشكلةعندمحاولةحلبعضالمعادلاتالتيلاتحتويعلىحلولضمنمجموعةالأعدادالحقيقية.علىسبيلالمثال،المعادلة:

[x^2+1=0]

لايوجدلهاحلضمنالأعدادالحقيقيةلأن(x^2)لايمكنأنيكونسالبًا.هناجاءتفكرةالأعدادالمركبةلتوسيعنطاقالأعدادوجعلحلمثلهذهالمعادلاتممكنًا.

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:
   عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
   [(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

   الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل

2. الضرب:
   عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1).
   [(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

   الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل

3. المرافقالمركب(ComplexConjugate):
   مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هو(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالقسمةوإيجادمعيارالعددالمركب.

   الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل

4. المعيار(Modulus):
   معيارالعددالمركب(z=a+bi)هو:
   [|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

   الأعدادالمركبةComplexNumbersشرحمفصل

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

بهذهالطريقة،يصبحمنالسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسيًا.

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،منها:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجات.
-معالجةالإشارات:فيتحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.

الخلاصة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادوتسمحبحلمعادلاتلميكنلهاحلولسابقًا.بفضلخصائصهاالفريدةوتطبيقاتهاالواسعة،أصبحتجزءًاأساسيًافيالرياضياتوالعلومالحديثة.